Ketika mempelajari probabilitas, kita biasanya memulai dengan pertanyaan sederhana: berapa peluang sebuah koin menghasilkan gambar ketika dilempar? Berapa peluang munculnya angka enam ketika sebuah dadu dilempar?
Pertanyaan-pertanyaan tersebut membantu kita memahami bahwa probabilitas merupakan cara untuk menyatakan peluang terjadinya suatu peristiwa.
Namun, dalam kehidupan nyata, kita sering memiliki informasi tambahan yang dapat memengaruhi perhitungan peluang.
Misalnya, berapa peluang besok turun hujan? Apakah jawabannya akan sama apabila kita mengetahui bahwa hari ini sedang hujan?
Atau, berapa peluang sebuah motor listrik mengalami gangguan? Apakah peluang tersebut berubah ketika sensor menunjukkan kenaikan suhu?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini, kita perlu memahami probabilitas bersyarat (conditional probability).
Konsep ini merupakan salah satu fondasi penting dalam statistika, proses stokastik, Machine Learning, dan berbagai sistem komputasi yang menggunakan informasi untuk memperkirakan keadaan.
1. Mengapa Informasi Tambahan Itu Penting?
Bayangkan kita memiliki sebuah kotak berisi sepuluh bola dengan komposisi berikut:
- 6 bola berwarna merah.
- 4 bola berwarna biru.
Jika kita mengambil satu bola secara acak, dengan setiap bola memiliki peluang yang sama untuk terambil, maka probabilitas mendapatkan bola merah adalah:
P(Merah) = 6 / 10 = 0.6
Artinya, peluang mengambil bola merah adalah 60%.
Sekarang bayangkan kita mengetahui bahwa sepuluh bola tersebut terdiri atas:
| Ukuran Bola | Merah | Biru | Total |
|---|---|---|---|
| Besar | 4 | 1 | 5 |
| Kecil | 2 | 3 | 5 |
| Total | 6 | 4 | 10 |
Apabila kita memilih satu bola secara acak dari seluruh isi kotak, peluang memperoleh bola merah tetap 60%.
Namun, bagaimana jika kita hanya diperbolehkan memilih dari lima bola berukuran besar?
Di antara lima bola besar tersebut, empat berwarna merah.
Karena itu:
P(Merah | Besar) = 4 / 5 = 0.8
Peluangnya sekarang menjadi 80%.
Perhatikan bahwa jumlah bola dalam kotak tidak berubah. Yang berubah adalah informasi atau kondisi yang digunakan untuk menentukan kelompok kemungkinan yang sedang kita perhitungkan.
Inilah gagasan utama probabilitas bersyarat.
2. Mengenal Notasi Probabilitas Bersyarat
Dalam matematika, probabilitas bersyarat dinyatakan menggunakan notasi:
P(A | B)
Notasi tersebut dibaca sebagai probabilitas terjadinya A dengan syarat B telah terjadi atau diketahui benar.
Simbol garis tegak (|) berarti "dengan syarat" atau "diketahui bahwa".
Dalam contoh bola sebelumnya:
A = Bola berwarna merah B = Bola berukuran besar P(A | B) = 0.8
Artinya, apabila kita mengetahui bahwa bola yang dipilih berukuran besar, peluang bola tersebut berwarna merah adalah 80%.
Namun, perhatikan bahwa:
P(Merah | Besar)
tidak selalu sama dengan:
P(Besar | Merah)
Probabilitas pertama menanyakan peluang warna merah di antara bola besar.
Probabilitas kedua menanyakan peluang ukuran besar di antara bola merah.
Untuk pertanyaan kedua, terdapat enam bola merah dan empat di antaranya berukuran besar.
P(Besar | Merah) = 4 / 6 ≈ 0.6667
Jadi, peluangnya sekitar 66,67%, bukan 80%.
Perbedaan arah kondisi tersebut sangat penting. Banyak kesalahan dalam penalaran probabilistik terjadi karena kedua probabilitas tersebut dianggap sama.
3. Dari Perhitungan Sederhana Menuju Rumus Matematika
Secara umum, probabilitas bersyarat dihitung menggunakan rumus:
P(A | B) = P(A dan B) / P(B)
Rumus ini berlaku selama probabilitas B lebih besar dari nol.
P(A dan B) adalah probabilitas bahwa kedua peristiwa terjadi bersama-sama. Dalam matematika, peristiwa gabungan tersebut biasanya ditulis sebagai irisan A dan B.
Mari kita kembali ke contoh bola.
Probabilitas mengambil bola yang sekaligus merah dan besar adalah:
P(Merah dan Besar) = 4 / 10 = 0.4
Probabilitas mengambil bola besar adalah:
P(Besar) = 5 / 10 = 0.5
Maka:
P(Merah | Besar) = 0.4 / 0.5 = 0.8
Hasilnya sama dengan perhitungan langsung sebelumnya.
Rumus ini membantu kita ketika informasi tidak lagi disajikan sebagai jumlah benda, melainkan berupa probabilitas hasil pengamatan atau data statistik.
4. Mencoba Contoh yang Lebih Dekat dengan Proses Stokastik
Sekarang mari kita menggunakan contoh cuaca, seperti pada pembahasan Rantai Markov.
Bayangkan kita memiliki catatan 100 perpindahan cuaca dari satu hari menuju hari berikutnya.
Untuk menyederhanakan persoalan, kita hanya menggunakan dua keadaan, yaitu Cerah dan Hujan.
Dari 100 perpindahan yang diamati, kita memperoleh data berikut:
| Cuaca Hari Ini | Besok Cerah | Besok Hujan | Total |
|---|---|---|---|
| Cerah | 48 | 12 | 60 |
| Hujan | 16 | 24 | 40 |
| Total | 64 | 36 | 100 |
Data tersebut adalah contoh buatan untuk pembelajaran, bukan hasil observasi meteorologi.
Perhatikan bahwa dari 60 perpindahan yang dimulai pada keadaan Cerah, terdapat 12 perpindahan menuju Hujan.
Dengan demikian:
P(Besok Hujan | Hari Ini Cerah) = 12 / 60 = 0.2
Artinya, berdasarkan data contoh, peluang hujan besok apabila hari ini cerah adalah 20%.
Bagaimana jika hari ini hujan?
Dari 40 perpindahan yang dimulai pada keadaan Hujan, terdapat 24 perpindahan menuju Hujan.
P(Besok Hujan | Hari Ini Hujan) = 24 / 40 = 0.6
Peluangnya menjadi 60%.
Jadi, menurut data contoh ini, peluang hujan besok berbeda bergantung pada keadaan cuaca hari ini.
Inilah salah satu alasan probabilitas bersyarat sangat penting dalam mempelajari sistem yang berubah terhadap waktu.
5. Mengapa Tidak Menggunakan Peluang Hujan Secara Umum Saja?
Dari tabel tadi, terdapat 36 perpindahan yang berakhir pada keadaan Hujan, dari 100 perpindahan seluruhnya.
Jika kita mengabaikan informasi mengenai cuaca hari ini, maka peluang empiris bahwa hari berikutnya hujan adalah:
P(Besok Hujan) = 36 / 100 = 0.36
Hasilnya adalah 36%.
Namun, setelah keadaan hari ini diketahui, kita memperoleh:
Jika hari ini Cerah: P(Besok Hujan) = 20% Jika hari ini Hujan: P(Besok Hujan) = 60%
Angka 36%, 20%, dan 60% bukanlah jawaban yang saling bertentangan.
Masing-masing merupakan probabilitas yang dihitung berdasarkan informasi yang berbeda.
Probabilitas 36% dihitung tanpa membedakan keadaan awal. Sementara probabilitas 20% dan 60% dihitung setelah kelompok pengamatan dibatasi berdasarkan keadaan awal.
Informasi tambahan memungkinkan kita membuat perkiraan yang lebih spesifik menurut model dan data yang tersedia.
Namun, perkiraan yang lebih spesifik belum tentu lebih akurat apabila jumlah data terlalu sedikit atau data pengamatan tidak mewakili kondisi yang ingin diprediksi.
6. Membuat Perhitungan dengan Python
Selanjutnya, mari kita menggunakan Python untuk menghitung probabilitas bersyarat dari data perpindahan cuaca.
Program ini tidak membutuhkan pustaka tambahan dan dapat dijalankan menggunakan Python standar.
# =====================================
# Probabilitas Bersyarat
# KOMPUTROBOTIKA
# =====================================
# Data contoh perpindahan cuaca
# Setiap pasangan adalah:
# (cuaca_hari_ini, cuaca_besok)
data = (
[("Cerah", "Cerah")] * 48
+ [("Cerah", "Hujan")] * 12
+ [("Hujan", "Cerah")] * 16
+ [("Hujan", "Hujan")] * 24
)
# Menghitung banyaknya pengamatan
# berdasarkan keadaan awal
def hitung_peluang(data, asal, tujuan):
total_asal = 0
jumlah_tujuan = 0
for hari_ini, besok in data:
if hari_ini == asal:
total_asal += 1
if besok == tujuan:
jumlah_tujuan += 1
if total_asal == 0:
return None
return jumlah_tujuan / total_asal
# Probabilitas hujan besok
# jika hari ini cerah
p1 = hitung_peluang(
data,
"Cerah",
"Hujan"
)
# Probabilitas hujan besok
# jika hari ini hujan
p2 = hitung_peluang(
data,
"Hujan",
"Hujan"
)
print("P(Hujan | Cerah):", p1)
print("P(Hujan | Hujan):", p2)
Hasil program adalah:
P(Hujan | Cerah): 0.2 P(Hujan | Hujan): 0.6
Program tersebut menunjukkan bagaimana komputer menghitung peluang suatu keadaan berdasarkan kelompok pengamatan yang memenuhi kondisi tertentu.
Perhatikan bagian:
if hari_ini == asal:
Perintah ini melakukan penyaringan terhadap data yang memenuhi syarat.
Setelah itu, program menghitung berapa banyak pengamatan yang menghasilkan keadaan tujuan.
Dengan kata lain, kita sedang menerjemahkan konsep probabilitas bersyarat menjadi algoritma sederhana.
Perlu dicatat bahwa daftar data dalam program sengaja disusun dari jumlah setiap jenis perpindahan. Program ini digunakan untuk menghitung frekuensi bersyarat, bukan untuk menyimulasikan urutan cuaca harian yang benar-benar berkesinambungan.
7. Memahami Perbedaan Antara Data dan Probabilitas
Ketika program menghasilkan nilai 0.2, apakah itu berarti peluang hujan setelah hari cerah selalu tepat 20%?
Tidak.
Angka 0.2 merupakan estimasi berdasarkan data contoh yang kita gunakan.
Jika data pengamatan berubah, hasil estimasi juga dapat berubah.
Misalnya, apabila dari 60 perpindahan yang berawal dari Cerah terdapat 18 perpindahan menuju Hujan, maka:
P(Hujan | Cerah) = 18 / 60 = 0.3
Hasilnya menjadi 30%.
Perhitungan probabilitas tetap benar, tetapi nilainya berbeda karena data yang digunakan berbeda.
Dalam statistika, penggunaan data pengamatan untuk memperkirakan probabilitas merupakan bagian dari estimasi parameter.
Konsep ini nantinya berperan penting ketika kita mempelajari bagaimana model Machine Learning memperoleh parameter dari data, bukan sekadar menggunakan angka yang ditentukan oleh programmer.
8. Kapan Dua Peristiwa Dikatakan Independen?
Probabilitas bersyarat juga membantu kita memahami konsep independensi.
Dua peristiwa A dan B disebut independen apabila mengetahui bahwa B terjadi tidak mengubah probabilitas A.
Apabila P(B) lebih besar dari nol, hal tersebut dapat dituliskan:
P(A | B) = P(A)
Misalnya, pada dua lemparan koin ideal yang independen, mengetahui hasil lemparan pertama tidak mengubah peluang munculnya gambar pada lemparan kedua.
Namun, dalam contoh cuaca sebelumnya:
P(Besok Hujan) = 0.36 P(Besok Hujan | Hari Ini Hujan) = 0.60
Kedua angka tersebut berbeda.
Artinya, dalam distribusi empiris contoh ini, keadaan cuaca besok dan keadaan cuaca hari ini tidak independen.
Hal ini membantu kita memahami mengapa data berurutan sering memerlukan model yang mempertimbangkan hubungan antar-pengamatan.
9. Apa Hubungannya dengan Rantai Markov?
Sampai tahap ini, kita telah mempelajari bahwa peluang keadaan berikutnya dapat bergantung pada keadaan sekarang.
Gagasan tersebut merupakan salah satu komponen utama Rantai Markov.
Dalam Rantai Markov orde pertama, kita menggunakan asumsi bahwa apabila keadaan saat ini sudah diketahui, probabilitas keadaan berikutnya tidak lagi bergantung pada keadaan-keadaan sebelumnya.
Misalnya, ketika cuaca hari ini telah diketahui, model menggunakan probabilitas transisi dari keadaan hari ini untuk menghitung peluang cuaca besok.
Perlu dibedakan bahwa tidak semua hubungan probabilitas bersyarat otomatis merupakan Rantai Markov.
Rantai Markov memiliki asumsi khusus mengenai bagaimana keadaan berikutnya bergantung pada riwayat keadaan sistem.
Karena itu, probabilitas bersyarat merupakan fondasi untuk memahami Rantai Markov, tetapi keduanya bukan konsep yang sama.
10. Hubungannya dengan Sensor dan Machine Learning
Prinsip probabilitas bersyarat juga dapat diterapkan pada data sensor.
Bayangkan kita ingin mengetahui peluang sebuah motor listrik mengalami gangguan ketika sensor suhu menunjukkan nilai tinggi.
Secara matematis, pertanyaannya dapat dinyatakan:
P(Gangguan | Suhu Tinggi)
Untuk menghitung peluang tersebut dari data pengamatan, kita perlu mengetahui berapa banyak pengamatan dengan suhu tinggi dan berapa banyak di antaranya berkaitan dengan kondisi gangguan.
Namun, kondisi gangguan harus terlebih dahulu ditentukan menggunakan kriteria pemeriksaan yang dapat dipertanggungjawabkan. Pembacaan suhu tinggi itu sendiri tidak boleh langsung dijadikan bukti bahwa motor mengalami gangguan.
Dalam konteks Machine Learning, probabilitas bersyarat membantu kita memahami bagaimana informasi hasil pengamatan dapat digunakan untuk memperkirakan keadaan atau kejadian yang ingin diketahui.
Konsep ini akan muncul kembali dalam pembahasan Teorema Bayes, Hidden Markov Model, dan berbagai metode inferensi probabilistik lainnya.
11. Latihan dan Eksperimen
Untuk memperkuat pemahaman, lakukan eksperimen berikut.
- Hitung peluang besok Cerah apabila hari ini Cerah berdasarkan tabel perpindahan cuaca.
- Hitung peluang besok Cerah apabila hari ini Hujan.
- Ubah jumlah perpindahan dalam program Python, kemudian amati perubahan probabilitas bersyaratnya.
- Bandingkan probabilitas Hujan secara umum dengan probabilitas Hujan berdasarkan keadaan awal tertentu.
- Gunakan contoh bola merah dan biru untuk menjelaskan mengapa P(Merah | Besar) tidak sama dengan P(Besar | Merah).
Setelah menyelesaikan latihan, coba jelaskan kembali dengan kata-kata sendiri mengapa informasi tambahan dapat mengubah hasil perhitungan probabilitas.
Kemampuan menjelaskan alasan di balik perhitungan lebih penting daripada sekadar menghafal rumusnya.
12. Penutup
Probabilitas bersyarat menunjukkan bahwa peluang suatu kejadian harus dipahami berdasarkan informasi yang digunakan dalam perhitungannya.
Ketika informasi baru tersedia, kelompok kemungkinan yang diperhitungkan dapat berubah sehingga nilai probabilitasnya juga berubah.
Melalui contoh bola, data cuaca, dan praktikum Python, kita telah melihat bagaimana suatu peluang dapat dihitung dari jumlah pengamatan yang memenuhi kondisi tertentu.
Konsep ini juga membantu kita membedakan probabilitas biasa, probabilitas gabungan, probabilitas bersyarat, dan independensi.
Dengan fondasi tersebut, pembahasan Rantai Markov akan menjadi lebih mudah dipahami, terutama ketika kita mulai menggunakan matriks transisi untuk memperkirakan perubahan keadaan suatu sistem dari waktu ke waktu.
Pada materi penguatan berikutnya, kita akan mempelajari distribusi probabilitas dan memahami mengapa jumlah peluang seluruh keadaan yang mungkin harus sama dengan satu.
Referensi
- Grinstead, Charles M., dan J. Laurie Snell. Introduction to Probability. American Mathematical Society. Buku probabilitas.
- OpenStax. Introductory Statistics. Rice University. Materi statistika terbuka.
